Популяризатор науки Николай Андреев: "Любой школьник может знать математику на пять"

Вместо тригонометрии - принцип Дирихле

Николай Николаевич, вы только что завершили лекцию для учителей математики, на которую даже в аномальный мороз съехались педагоги из районных центров. Подобные встречи наверняка раскрывают массу деталей в общей картине школьного математического образования. И если говорить о том, как сделать его качественнее, надо ли пересматривать содержание школьной программы?

- С одной стороны в образовании нельзя что-то резко менять - должна сохраняться некая непрерывность и эволюция. Кто бы что не придумал, но если учителя не потянут программу, то последние хорошие учителя уйдут из школы. С другой стороны, очевидно, что для современных детей эта программа устарела. Конечно, что-то потихоньку надо смещать. Но главное - не программа, а перекос в те измерители, которые сейчас используются в образовании, - в олимпиадную деятельность. Все-таки математика - не только и не столько олимпиады, сколько наблюдения за нашим миром. У нас на лекциях стоит глобус, потому что дети в большинстве своём не умеют отвечать на вопрос о том, почему происходит смена времён года. А ведь это чисто геометрический вопрос. Детей приучают выполнять какие-то технические задания, иногда довольно сложные, но не приучают вглядываться в окружающий мир и понимать, как он устроен. Между тем, из этих наблюдений рождаются учёные и великие открытия. В Китае дети знают формулы гораздо лучше и раньше нашего. Но мы здесь не выиграем ничего, если наши дети не будут понимать, что именно за этими формулами стоит. И здесь программа в каком-то смысле не так важна, как отношение к процессу образования, в том числе со стороны родителей. Если ребёнка не приучать дома уважать учителя и чем-то интересоваться, это - плохое отношение.

Может быть нам присмотреться к опыту Китая?

- Нет, нам так заведомо делать не надо. Среди китайцев есть великие математики, но высшее образование они все получили за границей. Из тех, кто учился в Китае, великих математиков мы не встретим. У них беда другая. Их много и в этой системе надо как-то выбиться наверх, поэтому у них действительно большой перекос - такой тренинг, после чего машины они, к сожалению, лучше делают, чем мы. Но это по большей части улучшение того, что имеется, а в России мы можем что-то придумать. И это, в некотором смысле, проявление русской души. С одной стороны, мы больше отдыхаем, чем китайцы, а с другой, можем что-то придумать за счёт этого.

Но вы сказали, что обновлять программу всё-таки надо.

- У нас в школе присутствует огромный пласт тригонометрии. Ещё во времена Петра нужно было строить солнечные часы или развивать мореходное дело. Нужны были серьёзные знания тригонометрии. Сейчас её долю можно было бы сократить и занять школьников чем-нибудь более интересным. Чаще всего спасает то, что называется кружками - советская придумка, где, например, проходят принцип Дирихле в пятом классе. Он легко формулируется. Если у вас две клетки и 3 кролика, как обычно формулируют, рассаженных по клеткам, то в одной из клеток сидит не меньше, чем 2 кролика. Казалось бы, тривиальность. Но если детей в 5-6-ом классах не научить этому принципу, то дальше с ними будет гораздо сложнее, чем если бы их этому принципу научили. Сейчас в Санкт-Петербурге главный тренер сборной России на международной математической олимпиаде Кирилл Андреевич Сухов как раз из этих соображений отрывает математические кружки во всех районах Питера с идеей о том, что в 5-6 классах надо детей знакомить с принципом Дирихле. Тогда им будет интереснее жить и в стране будет больше порядка и смысла.

Теоремы по русскому языку

А что надо менять в связи с тем, что мы живём в цифровом веке?

- В некотором смысле, математическая база или фундамент не зависит от времен. И если говорить про цифровой мир, то здесь используется та же самая математика. В основе искусственного интеллекта лежит цепь Маркова. Андрей Андреевич Марков - наш великий математик. Он выписал 20 тысяч знаков из произведения Пушкина "Евгений Онегин" и задался вопросом о том, каких знаков там больше - гласных или согласных. Выяснилось, что чуть больше согласных, а гласных всего 43%.

Конечно, больше. Согласных звуков в русском языке больше, чем гласных и они более информативны.

- Отвечу на это так. Я сегодня детям показал страничку из старой книжки 1967 года, где были приведены две теоремы, и спросил: "К какому разделу науки принадлежит эта книга?". Они очень удивились, что эта книга по русскому языку. Это была книга нашего великого лингвиста Андрея Анатольевича Зализняка. Ему эти теоремы понадобились, чтобы разобраться с ударениями в русском языке. Это пример того, что без математики никуда, чем бы вы не занимались на каком-то хорошем уровне. И одновременно Зализняк выпускает то, что сейчас называется обратный словарь русского языка. Тогда это казалось причудой гения. Но у гениев причуд не бывает. Когда пришли компьютеры, то выяснилось, что именно классификация Зализняка позволяет устраивать поиск в русском языке. И все популярные поисковые системы используют её.

Как интересно!

- Но вы правильно говорите, что в русском языке есть закономерности. Их можно изучать математически и затем использовать. Второй вопрос, который Марков задал при изучении текста "Евгения Онегина" был о том, отличается ли вероятность встретить гласную букву после гласной и гласную после согласной. Понятно, что две гласных подряд - это наиболее редкий случай, чем сочетание согласной и гласной. И из этого родились цепи Маркова, которые являются основной ИИ - тех больших лингвистических моделей, которые мы все сейчас так или иначе используем. Идея следующая. Если нам вдруг сегодня пообещают осадки, то давайте вычислять вероятность снега или дождя по вчерашнему дню. Если вчера было очень холодно, то сегодня с большей вероятностью будет снег, а не дождь. А если вчера было очень жарко, то с большей вероятностью будет дождь. Это идея цепи Маркова и, повторюсь, что это основа современных больших лингвистических моделей и это такой закон математики. Поэтому её знать нужно.

А всем это дано?

- Я убежден, что на школьном уровне любой школьник может знать математику на пять. Ничего там великого нет. Это вопрос о наличии хорошего учителя на протяжении всего школьного обучения. Если ребёнок что-то пропустил, надо вернуться, восстановить и идти дальше. Гуманитариев в этом смысле не бывает.

А "математический склад ума" бывает?

- Бывает, когда мы говорим про великие вещи, про науку.

Как вы оцениваете нынешний уровень знаний школьников по математике?

- Он меняется в худшую сторону и в особенности в части общей культуры. Сегодня на лекции никто из детей не смог прочесть на память даже первую фразу "Онегина".

А я про математику спрашивала.

- Не бывает математики отдельно от общей культуры. Не бывает так, чтобы человек виртуозно решал олимпиадные задачи и при этом не читал стихов. Опыт показывает, что так не бывает.

А про уровень преподавания математики чтобы вы сказали?

- Уровень преподавания подстраивается под то, что есть. В советское время были элитные школы, были плохонькие и была большая середина. А сейчас этой середины нет. Есть передовые школы и есть те, где совсем плохо.

Доклад Лобачевского и Глонасс

Недавно закончилась сессия в вузах. Студенты технических направлений в том числе сдавали математический анализ, так называемый матан и, конечно, жаловались. Сложно. А на слова родителей о том, что они тоже через это проходили, отвечали, мол, когда это было, раньше было проще. Это действительно так?

- Вузовские программы точно не усложнились - они упрощаются. Современные дети не выдержали бы советский физтех. Дети стали похилее, в том числе психологически. Во многих немосковских нетоповых вузах всерьёз планировали подтягивать детей во время первого года обучения - давать то, что они должны были изучить в школе. С другой стороны, современные дети уровня победителей Всероссийской олимпиады школьников знают больше, чем я знал в школе. Но они не могут этого переварить. Всё должно идти естественным путем, есть какие-то ограничения психофизические, возрастные. Поэтому здесь это надо обсуждать с экспертным сообществом. Но здесь уже чуть проще, потому что ребёнок - уже не ребёнок. Образование в студенческом возрасте - вопрос желания и работоспособности. В этом смысле я детям привожу в пример фильм "Чародеи", который они не смотрели. Там героя учат проходить сквозь стены и называют для этого три условия - видеть цель, верить в себя и не замечать препятствий.

Соответствуют ли шаги, которые сегодня предпринимаются в сфере высшего образования, задаче по достижению технологического суверенитета?

- Слов много, а правильных дел - мало. Но мы локально стараемся исправлять картину. Например, у нас в институте, основной задачей сотрудников которого является доказательство теорем, каждый вечер проводятся курсы с участием студентов разных вузов, где мы пытаемся компенсировать то, что они не дополучают в вузах. Кстати, ведётся запись занятий и её могут посмотреть студенты из других регионов страны. Это бесплатные занятия. Наше сообщество следит за теми детьми, которые у нас появляются, мы стараемся их материально и морально поддерживать.

А кто ставит задачи математику?

- Никто не может ставить задачи математику, потому что для этого надо очень хорошо математику понимать. Поэтому он это делаем сам. И не смотря на то, что периодически возникает упрёк, мол, чем это вы там занимаетесь, опыт показывает, что всё, что делают математики, в какой-то момент оказывается полезным человечеству. Иногда через 10 лет, но редко, а иногда - через 100. Выясняется, что когда-то работали над задачей, а теперь это нужно для того, чтобы правильно выстраивать какие-то технологические вещи. Страна должна быть готовой к тому, что возникнет какая-то область, так же как сегодня возник искусственный интеллект, и нам нужны будут те математические знания, на которые, казалось, вчера государство тратило деньги впустую.

Приведите пример использования работы математиков через много лет.

- В феврале исполняется 200 лет со дня первого доклада Николая Ивановича Лобачевского про свою неевклидовую геометрию. Тогда никто даже из научного сообщества этого не понял. Но после этого был Бернхард Риман и Альберт Эйнштейн. Теорию относительности невозможно представить без геометрии Римана, которая в свою очередь основывается на геометрии Лобачевского. Сегодня без теории относительности, например, не будет работать GPS или Глонасс. Можно считать, что Лобачевский своей геометрией заложил возможность работы современных систем позиционирования. Но бывает и по-другому. Приходят практики, ставят новую технологическую задачу и очень часто приходится доказывать новые математические теоремы. Мы в институте создали отдел математических основ ИИ. Потому что если хотя бы чуть-чуть лучше разобраться, почему и как это работает, будет большая экономия электричества и чего угодно на тренировке этих больших языковых моделей. И там масса нерешенных математических задач.

Наблюдатели сегодня часто говорят, что все последние новинки технического прогресса основаны на открытиях, которые были сделаны в середине прошлого века. С тех пор почти ничего нового, по крайней мере, физики, не сказали. В математике такая же картина?

- Это не совсем правда. Если говорить про достижения нашей страны, это тот же гиперзвук. Если бы ничего нового открыто не было, то гиперзвуковых ракет тоже не было бы. Если бы их можно было бы сделать тогда, то они были бы сделаны. А если они появились сейчас, то что-то новое было открыто. Дело в том, что наука очень далеко ушла от понимания общества и про многие вещи, которые сейчас проходят путь в математике, в физике, химии очень сложно донести научно-популярным языком тем людям, которые не знают какого-то алфавита в данной науке. Мы просто про это реже слышим и кажется, что ничего не происходит. Это не так.

Можно ли математически рассчитать угрозу кризиса?

- Понятное дело, что подобные прогнозы - это вопрос математических моделей. И если вы посмотрите, то Нобелевские премии по экономике чаще всего даются за какие-нибудь математические модели. Сотрудник нашего института Леонид Канторович получал эту премию по экономике. Поэтому вопрос построения модели, адекватно описывающую действительность, стоит всегда. Всё это относится к математике.

Сегодня говорится, что гуманитарные науки вступают в "эпоху точности". О чём это?

- Я уже говорил, что математические теоремы позволили разобраться с ударением в русском языке. Вообще лингвистика сейчас основана во многом на математических строгих логических рассуждениях. Возьмите ту же историю. Это вопрос не сегодняшнего дня, а предыдущего, как пример - метод полураспада, который позволяет определять временные даты. Математика это, в том числе про логику. Когда возникают рассуждения, без логики и в каком-то смысле без математики, не обойтись. Надо только понимать, что для души что-то должно оставаться. Не всем рулит математика. Поэтому просто в удовольствие почитать книжки без всякого математического анализа нашим детям тоже надо советовать.

Ваш институт им. Стеклова продолжает проекты, направленные на то, чтобы заинтересовать ребёнка математикой. А есть ли у проекта, как сегодня говорят, сильные кейсы?

- Есть. Но вопрос - как мерить. Наш проект был открыт в 2002 году. Среди его участников есть дети, которые добились заметных успехов. Мы имели отношение к способным подросткам, которых чему-то учили, передавали из рук в руки. Что касается уровня топа - тех детей, которым свыше предназначено, они пробьются что бы ни было вокруг. Но даже если ребёнок пойдет не в сферу математики, а большинство, которых я вижу, так и делает, но станет решать какие-то важные вопросы в стране и будет понимать, что математика - это важно, я считаю, что я свою функцию уже выполнил.