Службу в органах прокуратуры начал после окончания в 1966 году Саратовского юридического института. До 1970 года работал следователем прокуратуры Сучана Приморского края. Затем переехал на постоянное место жительства в Саратов, где работал сначала следователем прокуратуры Октябрьского района, затем старшим следователем облпрокуратуры.
В 1976 году был назначен замначальника следственного отдела, затем управления облпрокуратуры. С 1981 по 1987 год - зампрокурора области - начальник следственного управления. С 87-го по июнь прошлого года - первый зампрокурора области.
Из органов прокуратуры Анатолий Горшков был уволен в связи с выходом на пенсию по достижению предельного возраста и выслуге лет.
После ухода на пенсию Горшков работал директором по общим вопросам управления "Волгомоста".
Гражданская панихида пройдет 30 августа в здании военного института ВВ МВД.